Matemática discreta Ejemplos

$9 x^{2} + 15 x = 14$

Paso 1

Divide cada término en $9 x^{2} + 15 x = 14$ por $9$ y simplifica.

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Paso 1.1

Divide cada término en $9 x^{2} + 15 x = 14$ por $9$ .

$\frac{9 x^{2}}{9} + \frac{15 x}{9} = \frac{14}{9}$

Paso 1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 1.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 x^{2}}{9} + \frac{15 x}{9} = \frac{14}{9}$

Paso 1.2.1.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{15 x}{9} = \frac{14}{9}$

Paso 1.2.1.2

Cancela el factor común de $15$ y $9$ .

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Paso 1.2.1.2.1

Factoriza $3$ de $15 x$ .

$x^{2} + \frac{3 (5 x)}{9} = \frac{14}{9}$

Paso 1.2.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.1.2.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$x^{2} + \frac{3 (5 x)}{3 (3)} = \frac{14}{9}$

Paso 1.2.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} + \frac{3 (5 x)}{3 \cdot 3} = \frac{14}{9}$

Paso 1.2.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} + \frac{5 x}{3} = \frac{14}{9}$

Paso 2

Para crear un trinomio cuadrado en el lado izquierdo de la ecuación, obtén un valor que sea igual al cuadrado de la mitad de $b$ .

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{5}{6})}^{2}$

Paso 3

Suma el término a cada lado de la ecuación.

$x^{2} + \frac{5 x}{3} + {(\frac{5}{6})}^{2} = \frac{14}{9} + {(\frac{5}{6})}^{2}$

Paso 4

Simplifica la ecuación.

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Paso 4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{6}$ .

$x^{2} + \frac{5 x}{3} + \frac{5^{2}}{6^{2}} = \frac{14}{9} + {(\frac{5}{6})}^{2}$

Paso 4.1.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} + \frac{5 x}{3} + \frac{25}{6^{2}} = \frac{14}{9} + {(\frac{5}{6})}^{2}$

Paso 4.1.1.3

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} + \frac{5 x}{3} + \frac{25}{36} = \frac{14}{9} + {(\frac{5}{6})}^{2}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $\frac{14}{9} + {(\frac{5}{6})}^{2}$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{6}$ .

$x^{2} + \frac{5 x}{3} + \frac{25}{36} = \frac{14}{9} + \frac{5^{2}}{6^{2}}$

Paso 4.2.1.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} + \frac{5 x}{3} + \frac{25}{36} = \frac{14}{9} + \frac{25}{6^{2}}$

Paso 4.2.1.1.3

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} + \frac{5 x}{3} + \frac{25}{36} = \frac{14}{9} + \frac{25}{36}$

Paso 4.2.1.2

Para escribir $\frac{14}{9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} + \frac{5 x}{3} + \frac{25}{36} = \frac{14}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{25}{36}$

Paso 4.2.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $36$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.2.1.3.1

Multiplica $\frac{14}{9}$ por $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} + \frac{5 x}{3} + \frac{25}{36} = \frac{14 \cdot 4}{9 \cdot 4} + \frac{25}{36}$

Paso 4.2.1.3.2

Multiplica $9$ por $4$ .

$x^{2} + \frac{5 x}{3} + \frac{25}{36} = \frac{14 \cdot 4}{36} + \frac{25}{36}$

Paso 4.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{2} + \frac{5 x}{3} + \frac{25}{36} = \frac{14 \cdot 4 + 25}{36}$

Paso 4.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.5.1

Multiplica $14$ por $4$ .

$x^{2} + \frac{5 x}{3} + \frac{25}{36} = \frac{56 + 25}{36}$

Paso 4.2.1.5.2

Suma $56$ y $25$ .

$x^{2} + \frac{5 x}{3} + \frac{25}{36} = \frac{81}{36}$

Paso 4.2.1.6

Cancela el factor común de $81$ y $36$ .

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Paso 4.2.1.6.1

Factoriza $9$ de $81$ .

$x^{2} + \frac{5 x}{3} + \frac{25}{36} = \frac{9 (9)}{36}$

Paso 4.2.1.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.1.6.2.1

Factoriza $9$ de $36$ .

$x^{2} + \frac{5 x}{3} + \frac{25}{36} = \frac{9 \cdot 9}{9 \cdot 4}$

Paso 4.2.1.6.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} + \frac{5 x}{3} + \frac{25}{36} = \frac{9 \cdot 9}{9 \cdot 4}$

Paso 4.2.1.6.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} + \frac{5 x}{3} + \frac{25}{36} = \frac{9}{4}$

Paso 5

Factoriza el cuadrado trinomio perfecto en ${(x + \frac{5}{6})}^{2}$ .

${(x + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{9}{4}$

Paso 6

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x + \frac{5}{6} = \pm \sqrt{\frac{9}{4}}$

Paso 6.2

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{9}{4}}$ .

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Paso 6.2.1

Reescribe $\sqrt{\frac{9}{4}}$ como $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}$ .

$x + \frac{5}{6} = \pm \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x + \frac{5}{6} = \pm \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{4}}$

Paso 6.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x + \frac{5}{6} = \pm \frac{3}{\sqrt{4}}$

Paso 6.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x + \frac{5}{6} = \pm \frac{3}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 6.2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x + \frac{5}{6} = \pm \frac{3}{2}$

Paso 6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x + \frac{5}{6} = \frac{3}{2}$

Paso 6.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Resta $\frac{5}{6}$ de ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{3}{2} - \frac{5}{6}$

Paso 6.3.2.2

Para escribir $\frac{3}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5}{6}$

Paso 6.3.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.3.2.3.1

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{5}{6}$

Paso 6.3.2.3.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{3 \cdot 3}{6} - \frac{5}{6}$

Paso 6.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{3 \cdot 3 - 5}{6}$

Paso 6.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.3.2.5.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$x = \frac{9 - 5}{6}$

Paso 6.3.2.5.2

Resta $5$ de $9$ .

$x = \frac{4}{6}$

Paso 6.3.2.6

Cancela el factor común de $4$ y $6$ .

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Paso 6.3.2.6.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{6}$

Paso 6.3.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.2.6.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$x = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Paso 6.3.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Paso 6.3.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{2}{3}$

Paso 6.3.3

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x + \frac{5}{6} = - \frac{3}{2}$

Paso 6.3.4

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.3.4.1

Resta $\frac{5}{6}$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - \frac{3}{2} - \frac{5}{6}$

Paso 6.3.4.2

Para escribir $- \frac{3}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5}{6}$

Paso 6.3.4.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.3.4.3.1

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$x = - \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{5}{6}$

Paso 6.3.4.3.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = - \frac{3 \cdot 3}{6} - \frac{5}{6}$

Paso 6.3.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- 3 \cdot 3 - 5}{6}$

Paso 6.3.4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.3.4.5.1

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$x = \frac{- 9 - 5}{6}$

Paso 6.3.4.5.2

Resta $5$ de $- 9$ .

$x = \frac{- 14}{6}$

Paso 6.3.4.6

Cancela el factor común de $- 14$ y $6$ .

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Paso 6.3.4.6.1

Factoriza $2$ de $- 14$ .

$x = \frac{2 (- 7)}{6}$

Paso 6.3.4.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.4.6.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$x = \frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 3}$

Paso 6.3.4.6.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 3}$

Paso 6.3.4.6.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- 7}{3}$

Paso 6.3.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{7}{3}$

Paso 6.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{2}{3}, - \frac{7}{3}$